解:(1)∵y=
图象过点C(4,2),
∴
=2,
解得k=8,
∴反比例函数的解析式为:y=
;
(2)①由题意得,点K的纵坐标2×2=4,点J的横坐标是4+(4-1)=7,
∵点K、J都在反比例函数y=
的图象上,
∴K(2,4),J(7,
),
设直线KJ的解析式为y=kx+b,
则
,
解得
,
∴直线KJ的解析式为y=-
x+
;
②根据三角形的三边关系|NK-NJ|<KJ,
∴当点N在直线KJ与x轴的交点时,|NK-NJ|=KJ最大,
此时-
x+
=0,
解得x=9,
∴点N的坐标是(9,0);
(3)存在.
如图所示,AC为菱形的边时,存在点P
1(4+
,2),
P
2(4-
,2),P
3(4,-2),
AC为对角线时,存在点P
4(
,2).
分析:(1)把点C坐标代入反比例函数解析式,根据待定系数法即可求解;
(2)①先根据翻折求出点K的纵坐标的值与点J的横坐标的值,然后代入反比例函数解析式进行计算求出点K、J的坐标,然后利用待定系数法列式即可求出直线KJ的解析式;
②根据三角形的两边之差小于第三边可知当N为直线KJ与x轴的交点时,|NK-NJ|值最大,求出直线与x的交点即可;
(3)分线段AC是菱形的边与对角线两种情况进行求解.
点评:本题综合考查了反比例函数,菱形的性质,矩形的性质,以及待定系数法求函数解析式,综合性较强,对同学们的分析问题与解决问题的能力要求较高,(3)中要注意分AC是菱形的边与对角线两种情况讨论.