Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，拋物线y=﹣ x2 x与x轴交于O，A，点B在抛物线上且横坐标为2．

（1）如图1，△AOB的面积是多少？
（2）如图1，在线段AB上方的抛物线上有一点K，当△ABK的面积最大时，求点K的坐标及△ABK的面积；
（3）在（2）的条件下，点H 在y轴上运动，点I在x轴上运动．则当四边形BHIK周长最小时，求出H、I的坐标以及四边形BHIK周长的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当y=0时，得A（10，0）；

当x=2时，y=4，所以B（2，4），

∴ ；

（2）解：过K作KM⊥x轴交AB于M点，

设K（m，﹣ m2 m），（2＜m＜10），

∵A（10，0），B（2，4），

∴直线AB的解析式为y=﹣ x+5，

则KM=﹣ m2 m﹣（﹣ m+5）=﹣ m2+3m﹣5，

∴S△ABK= KM|xA﹣xB|=4KM=﹣m2+12m﹣20=﹣（m﹣6）2+16，

∴当m=6时，S△ABK有最大值．

此时，K（6，6），S△ABK=16．

（3）解：如图，作点B关于y轴的对称点B′（﹣2，4）、点K关于x轴的对称点K′（6，﹣6），

连接B′K′，分别交x轴于点I，交y轴于点H，此时四边形BHIK的周长最小，

∴B′K′的解析式为y=﹣ x+ ，

∴H（0， ）、I（ ，0），

∴四边形BHIK周长的最小值为B′K′+BK= + =2 +2 ．

【解析】（1）要求面积可求高，即yB；（2）（三边均没有水平边或竖直边的三角形可称为斜三角形）△ABK是斜三角形，须过点K做x轴的垂线，把它分割为两个有竖直边的三角形，设出自变量，构建函数，解决最值问题;（3）四边形BHIK周长可转化为多条线段的和，可利用对称法求两线段之和最小，即做出定点B、K分别关于y、x轴的对称点，当三条线段B'H，HI、IK' 在一条直线上时，周长最短..
【考点精析】利用轴对称-最短路线问题对题目进行判断即可得到答案，需要熟知已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径．