Question

（2011•恩施州）如图，已知AB为⊙O的直径，BD为⊙O的切线，过点B的弦BC⊥OD交⊙O于点C，垂足为M．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）当BC=BD，且BD=6cm时，求图中阴影部分的面积（结果不取近似值）

Answer 1

（1）证明：连接OC

∵OD⊥BC，O为圆心，
∴OD平分BC．
∴DB=DC．
∴△OBD≌△OCD．（SSS）
∴∠OCD=∠OBD．
又∵AB为⊙O的直径，BD为⊙O的切线，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵DB、DC为切线，B、C为切点，
∴DB=DC．
又DB=BC=6，
∴△BCD为等边三角形．
∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，
∠OBM=90°﹣60°=30°，BM=3．
∴OM=，OB=2．
∴S_阴影部分=S_扇形OBC﹣S_△OBC
=﹣
=（cm²）．

略