Question

x2+16

+

(8-x)2+4

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：根据勾股定理得出AC，CE的长进而得出用含x的代数式表示AC+CE的长；由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，利用勾股定理求出即可．

解答：解：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=4，DE=2，BD=8，设CD=x．
∵CD=x，BD=8，
∴CB=8-x，
AC+CE=

x2+16

+

(8-x)2+4

，
A、C、E在同一直线上，AC+CE最小；
当A、C、E在同一直线上时，
延长AB，作EF⊥AB于点F，
∵AB=4，DE=2，
∴AF=6，
∵∠ABD=90°，
∴∠FBD=90°，
∵∠BDE=∠BFE=90°，
∴四边形BFED是矩形，
∴BD=EF=8，
∴AE=

62+82

=10，
∴

x2+16

+

(8-x)2+4

的最小值为10，
故答案为：10．

点评：本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．