Question

6．如图，已知：BC为⊙O的直径，∠ADC=90°，AD与⊙O相切于F．
（1）求证：BC=CE；
（2）若AB=4，CD=6，求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）连结OF，如图，根据切线的性质得OF⊥AD，则可判断OF∥CD，根据平行线的性质得∠OFB=∠E，加上∠OBF=∠OFB，则∠OBF=∠E，然后根据等腰三角形的判定定理即可得到BC=CE；
（2）设⊙O的半径为r，则OF=r，BC=2r，证明△AOF∽△ACD，利用相似比得到$\frac{r}{6}$=$\frac{4+r}{4+2r}$，解得r₁=4，r₂=-3（舍去），则AC=12，在Rt△ACD中，利用勾股定理计算出AD=6$\sqrt{3}$，然后根据正弦的定义求解．

解答 （1）证明：连结OF，如图，
∵AD与⊙O相切于F，
∴OF⊥AD，
∴∠OFA=90°，
∵∠ADC=90°，
∴OF∥CD，
∴∠OFB=∠E，
而OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∴∠OBF=∠E，
∴BC=CE；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OF=r，BC=2r，
∵OF∥CD，
∴△AOF∽△ACD，
∴$\frac{OF}{CD}$=$\frac{AO}{AC}$，即$\frac{r}{6}$=$\frac{4+r}{4+2r}$，
整理得r²-r-12=0，解得r₁=4，r₂=-3（舍去），
∴AC=4+2r=12，
在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴sinC=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{6\sqrt{3}}{12}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．