Question

18．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y₁=x²与y₂=$\frac{x^2}{3}$于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y₁于点D，直线DE∥AC交y₂于点E，则$\frac{DE}{AB}$的值是（　　）

• A． 2
• B． y=$\frac{3}{2}$
• C． 3-$\sqrt{2}$
• D． 3-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y₁的解析式求出D点的坐标，然后利用y₂求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．

解答 解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x²=a，解得x=$\sqrt{a}$，
∴点B（$\sqrt{a}$，a），
$\frac{{x}^{2}}{3}$=a，
则x=$\sqrt{3a}$，
∴点C（$\sqrt{3a}$，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为$\sqrt{3a}$，
∴y₁=（$\sqrt{3a}$）²=3a，
∴点D的坐标为（$\sqrt{3a}$，3a），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为3a，
∴$\frac{{x}^{2}}{3}$=3a，
∴x=3$\sqrt{a}$，
∴点E的坐标为（3$\sqrt{a}$，3a），
∴DE=3$\sqrt{a}$-$\sqrt{3a}$，
∴则$\frac{DE}{AB}$=$\frac{3\sqrt{a}-\sqrt{3a}}{\sqrt{a}}$=3-$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．