Question

17．已知：E、F分别是矩形ABCD的边AD、CD上一点，且DF=CF，∠DEF=2∠CBF．若AB=4，BC=6，则AE=$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 在矩形ABCD中，AD=BC，∠D=∠C=90°，通过三角形全等得到∠DAF=∠FBC，因为∠DEF=2∠FBC，推出∠DEF=2∠DAF，根据外角的性质证得等腰三角形，再根据勾股定理列方程求解．

解答 解：如图，连接AF，
在矩形ABCD中，
∵AD=BC，∠D=∠C=90°，
在△ADF与△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠D=∠C}\\{CF=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴∠DAF=∠FBC，
∵∠DEF=2∠FBC，
∴∠DEF=2∠DAF，
∵∠DEF=∠DAF+∠EFA，
∴∠DAF=∠EFA，
∴AE=EF，
设AE=EF=x，则DE=6-x，
∴x²=（6-x）²+2²，
∴x=$\frac{10}{3}$，
∴AE=$\frac{10}{3}$．
故答案为：$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．