Question

（2013•本溪一模）（1）已知，如图①，Rt△ABC∽Rt△AB′C′，相似比为k，∠ACB=∠AC′B′=90°，且∠A=30°，将△AB′C′绕点A逆时针旋转α后，点C′恰好在边BC的延长线上，如图②，若四边形ABB′C′是矩形，求α的度数及k的值；
（2）如图③，等腰△ABC∽等腰△AB′C′，相似比为k，AB=AC，AB′=AC′，∠A=36°，将△AB′C′绕点A逆时针旋转α后，点B′恰好在BC边的延长线上，如图④，若AC′∥BB′，①判断四边形ABB′C′的形状并说明理由；②α=

72°

，k=

-1+ 5

2

．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质就可以求出∠C′AB=90°，进而求出a的值，由k=

AC

A′C

=COS60°，就可以求出结论；
（2）由相似三角形的性质就可以求出∠CBA=∠C′B′A，由AB′=AC′就可以得出∠B′C′A=∠C′B′A，就有∠CBA=∠B′C′A，根据AC′∥BB′可以可以得出∠B′C′A+∠BB′C′=180°，就可以得出AB∥B′C′，得出四边形ABB′C′是平行四边形；就可以求出a的值，由相似三角形的性质就可以求出k的值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C′AB=90°，
∵∠A=30°，
∴a=∠C′AC=60°，
∴k=

AC

AC′

=cos60°=

1

2

．

（2）①四边形ABB′C′是平行四边形．
理由：∵等腰△ABC∽等腰△AB′C′，
∴∠CBA=∠C′B′A．
∵AB′=AC′，
∴∠B′C′A=∠C′B′A，
∴∠CBA=∠B′C′A．
∵AC′∥BB′，
∴∠B′C′A+∠BB′C′=180°，
∴∠CBA+∠BB′C′=180°，
∴AB∥B′C′
∴四边形ABB′C′是平行四边形．
②∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
∵∠B+∠BAC+∠CAC′=180°，
∴∠CAC′=72°．
即a=72°．
如图④，∵72°+36°+36°+∠CAB′=180，
∴∠CAB′=36°，
∴∠AB′B=36°，∠BAB′=∠ABB′=72°
∴AC=B′C，AB′=BB′，△ABC∽△B′BA，
∴

AB

BB′

=

BC

AB

．
设AB=x，AB′=BB′=a，
∴

x

a

=

BC

x

，
∴BC=

x2

a

．
∵BC+B′C=BB′=a，
∴

x2

a

+x=a，
∴x²+ax-a²=0，
∴x₁=

-1- 5

2

a（舍去），x₂=

-1+ 5

2

a，
∴AC=

-1+ 5

2

a．
∴k=

AC

AC′

=

-1+ 5

2

．
故答案为：72°，

-1+ 5

2

．

点评：本题考查了相似三角形的性质的运用，矩形的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，三角函数值的运用，解答时证明三角形相似是关键．