Question

如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2

2

，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交于AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为

3

．

Answer 1

分析：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=

1

2

∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH，即可求出答案．

解答：解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2

2

∴AD=BD=1，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH=

1

2

∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×

3

2

=

3

2

，
由垂径定理可知EF=2EH=

3

，
故答案为：

3

．

点评：本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．