Question

2．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，AB=$\frac{3}{2}$，BC=2，P是BC边上的一个动点（P与点B不重合，可以与点C重合）．DE⊥AP于点E．设AP=x，DE=y，求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 易证△AED∽△PBA，根据相似三角形的性质即可得到y与x的函数表达式，然后考虑点P在线段BC两个端点处所对应的x的值，就可得到自变量x的取值范围．

解答 解：∵AD∥BC，∴∠DAP=∠APB．
∵DE⊥AP，∠B=90°，
∴∠AED=∠B=90°，
∴△AED∽△PBA，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{AD}{AP}$．
∵AD=1，AB=$\frac{3}{2}$，AP=x，DE=y，
∴$\frac{y}{\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{x}$，
∴y=$\frac{3}{2x}$．
当点P运用到点C时，
AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
∵P是BC边上的一个动点（P与点B不重合，可以与点C重合），
∴$\frac{3}{2}$＜x≤$\frac{5}{2}$．
∴y关于x的函数表达式为y=$\frac{3}{2x}$，自变量x的取值范围为$\frac{3}{2}$＜x≤$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识，通常可通过考虑临界位置来求自变量的取值范围，但需根据条件考虑能否取等号．