Question

13．如图，在平面直角坐标系中，AM、DM分别平分∠BAC，∠ODE，且∠MDO-∠MAC=45°，AB交y轴于F：
①猜想DE与AB的位置关系，并说明理由；
②已知点A（-4，0），点B（2，2），点C（3，0），点D（0，4），点E（6，6）．坐标轴上是否存在点P，使得△PDE的面积和△BDE的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标，不用说明理由；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AM、DM分别平分∠BAC、∠ODE得∠EDO=2∠MDO、∠BAC=2∠MAC，由∠MDO-∠MAC=45°得∠EDO-∠BAC=90°，根据三角形外角性质知∠BFO-∠BAC=90°，从而得出∠EDO=∠BFO，即可得DE∥AB；
（2）由（1）中DE∥AB可知，直线AB 与y轴交点使得△PDE的面积和△BDE的面积相等，故可先求出直线AB 解析式，从而可得其与坐标轴交点坐标，同理可将直线y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$向上平移2×（4-$\frac{4}{3}$）=$\frac{16}{3}$个单位后直线l与坐标轴交点也满足条件，求出其与坐标轴交点即可．

解答 解：（1）DE∥AB，理由如下：
∵AM、DM分别平分∠BAC，∠ODE，
∴∠EDO=2∠MDO，∠BAC=2∠MAC，
∵∠MDO-∠MAC=45°，
∴2∠MDO-2∠MAC=90°，即∠EDO-∠BAC=90°，
∵∠BFO=∠BAC+90°，即∠BFO-∠BAC=90°，
∴∠EDO=∠BFO，
∴DE∥AB；

（2）设AB所在直线解析式为：y=kx+b，
将点A（-4，0）、点B（2，2）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴AB所在直线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
当x=0时，y=$\frac{4}{3}$，
即点F的坐标为（0，$\frac{4}{3}$），
当y=0时，$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$=0，解得：x=-4，
此时（-4，0），
由（1）知AB∥DE，
当点P与点F重合时，即点P坐标为（0，$\frac{4}{3}$）或（-4，0），△PDE的面积和△BDE的面积相等；

如图，将直线y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$向上平移2×（4-$\frac{4}{3}$）=$\frac{16}{3}$个单位后直线l的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{20}{3}$，
∴直线l与y轴的交点P的坐标为（0，$\frac{20}{3}$），直线l与x轴的交点为（-20，0），
∵直线l∥AB∥DE，
∴△PDE的面积和△BDE的面积相等；
综上，点P的坐标为（0，$\frac{4}{3}$）或（-4，0）或（0，$\frac{20}{3}$）或（-20，0）．

点评 本题主要考查平行线的判定与性质、图形的坐标与性质及三角形的面积，熟练掌握两平行线间距离处处相等及共底等高两三角形面积相等是解题的关键．