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    精英家教网如图，P为圆外一点，PA切圆于A，PA=8，直线PCB交圆于C、B，且PC=4，连接AB、AC，∠ABC=α，∠ACB=β，则
    sinαsinβ
    =
     
    ．
    分析：过A作AD⊥BC于D，则得到三角形ABD和ACD为直角三角形，然后由角P为公共角，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到角CAP等于角B，由两组对应角相等得到两三角形相似，得到对应边成比例，根据锐角三角函数定义表示出sinα和sinβ的比值，将已知的PA和PC的长代入即可求出值．
    解答：精英家教网解：作AD⊥BC于D．则sinα=
    AD
    AB
    ，sinβ=
    AD
    AC
    ，
    ∵∠P=∠P，∠CAP=∠B，
    ∴△ACP∽△BAP，∴
    AC
    AB
    =
    PC
    PA
    ，又PA=8，PC=4，
    则
    sinα
    sinβ
    =
    AD
    AB
    ÷
    AD
    AC
    =
    AC
    AB
    =
    PC
    PA
    =
    1
    2
    ；
    故答案是：
    1
    2
    ．
    点评：此题切线的性质，三角形相似的判别与性质，以及锐角三角函数的定义．作出AD垂直于BC构造两直角三角形是解本题的关键．解答此类题的方法是仔细审题，结合图形，找到突破点．
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