Question

如图，以坐标原点O为圆心，6为半径的圆交y轴于A、B两点．AM、BN为⊙O的切线．D是切线AM上一点（D与A不重合），DE切⊙O于点E，与BN交于点C，且AD＜BC．设AD=m，BC=n．
（1）求m•n的值；
（2）若m、n是方程2t²-30t+k=0的两根．求：
①△COD的面积；
②CD所在直线的解析式；
③切点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）本题主要通过勾股定理或相似三角形来解决问题．
（2）第一问先根据一元二次方程求出m+n的值，进而求出△COD的面积．第二问主要通过先求出C，D两点的坐标，再通过待定系数法来解决的．第三问是通过说明△OEG∽△EFC求出E的纵坐标，再代入直线的解析式求出它的纵坐标．

解答：解：（1）解法一：作DQ⊥BC于点Q．由切线长定理，可得AD=ED，BC=EC，
∴CD=m+n，QC=m-n．由勾股定理，得（m+n）²-（m-n）²=12²，可得m•n=36，
解法二：证明：△AOD∽△BCO，得

AD

BO

=

AO

BC

，
∴AD•BC=AO•BO=36，即m•n=36；

（2）①连接OE，由已知得m+n=15，即CD=15，
∵CD切⊙O于E，∴OE⊥CD，
∴S_△COD=

1

2

CD•OE=

1

2

×15×6=45，
②设CD所在直线解析式为y=ax+b，
由m+n=15，m•n=36，且m＜n得m=3，n=12，
∴C（12，-6），D（3，6），
代入y=ax+b，得

12a+b=-6 3a+b=6

，解得a=-

4

3

，b=10，
∴CD所在直线的解析式为y=-

4

3

x+10．
③设E点坐标为（x₁，y₁），设直线CD交x轴于点G，作EF⊥BC，垂足为F，交OG于点P，则OG=

1

2

（m+n）=

15

2

∵∠OGE=∠ECF，
∴Rt△OEG∽Rt△EFC，
∴

OE

EF

=

OG

EC

，即

6

EF

=

15 2

12

，∴EF=

48

5

∴EP=

48

5

-6=

18

5

，
即y₁=

18

5

，把y₁=

18

5

代入y=-

4

3

x+10，得x₁=

24

5

∴E（

24

5

，

18

5

）．

点评：本题主要是考查切线的性质，相似三角形的判定及用待定系数法求一次函数的解析式．是一道综合性较强的题．