Question

在直角坐标系xOy 中，已知某二次函数的图象经过A（-4，0）、B（0，-3），与x轴的正半轴相交于点C，若△AOB∽△BOC（相似比不为1）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求△ABC的外接圆半径r；
（3）在线段AC上是否存在点M（m，0），使得以线段BM为直径的圆与线段AB交于N点，且以点O、A、N为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设二次函数y=ax²+bx+c的解析式，首先求出B点坐标，然后由△AOB∽△BOC，根据相似三角形的对应边成比例，求出OC的长度，得出C点坐标；根据相似三角形的对应角相等得出∠OAB=∠OBC，从而得出∠ABC=90°；由y=ax²+bx+c图象经过点A（-4，0），B（0，-3），运用待定系数法即可求出此二次函数的关系式；
（2）由已知条件证明△ABC是直角三角形，利用直角三角形的外接圆的直径等于其斜边即r=

c

2

，求解即可；
（3）如果以点O、A、N为顶点的三角形是等腰三角形，那么分三种情况讨论：①当AN=ON时，②当AN=OA时，当ON=OA时，针对每一种情况，都应首先判断M点是否在线段AC上．

解答：解：（1）∵△AOB∽△BOC（相似比不为1），
∴

OC

OB

=

OB

OA

，
又∵OA=4，OB=3，
∴OC=

3×3

4

=

9

4

，
∴点C（

9

4

，0），
设图象经过A、B、C三点的函数解析式是y=ax²+bx+c，则：

0=16a-4b+c -3=c 0= 81 16 a+ 9 4 b+c

，
解得，a=

1

3

，b=

7

12

，
∴这个函数的解析式是y=

1

3

x²+

7

12

x-3；

（2）∵△AOB∽△BOC（相似比不为1），
∴∠BAO=∠CBO．
又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°
∴AC是△ABC外接圆的直径．
∴r=

1

2

AC=

1

2

×（OA+OC）=

25

8

；

（3）∵点N在以BM为直径的圆上，
∴∠MNB=90°，
①当AN=ON时，点N在OA的中垂线上，
∴点N₁是AB的中点，M₁是AC的中点．
∴AM₁=r=

25

8

，点M₁（-

7

8

，0），即m₁=-

7

8

；
②当AN=OA时，Rt△AM₂N₂≌Rt△ABO，
∴AM₂=AB=5，点M₂（1，0），即m₂=1．
③当ON=OA时，点N显然不能在线段AB上．
综上，符合题意的点M（m，0）存在，有两解：
m=-

7

8

，或1．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．