Question

如图，D是△ABC的边AB上一点，在条件（1）∠ACD=∠B，（2）AC²=AD•AB，（3）AB边上与点C距离相等的点D有两个，（4）∠B=∠ACB中，一定使△ABC∽△ACD的个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：要使△ABC∽△ACD，由于两三角形有一对角相等∠CAD=∠BAC，根据相似三角形的判定，看缺什么条件就补充什么条件就可以了，分情况讨论①∠ACD=∠B，②∠ADC=∠ACB，③=，①、②、③分别联合已知条件∠CAD=∠BAC，可证△ABC∽△ACD，其余的说明其错误原因即可．
解答：（1）若∠ACD=∠B，
∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，
∴△ABC∽△ACD．
（2）若=，
∵AC²=AD•AB，
∴=，
又∵∠CAD=∠BAC，
∴△ABC∽△ACD．
（3）若AB边上与点C距离相等的点D有两个，如果CD长不确定，那么符合条件的点有很多，不固定，那么△ACD的形状也无法确定，也就无法证明△ACD∽△ABC；
（4）∠B=∠ACB，说明△ABC是等腰三角形，而△ACD不一定是等腰三角形，故两三角形不相似；若△ACD是等腰三角形，则必有AD=AC，也就有AD=AB，则B、D重合，不合题意．
故选B．
点评：本题利用了相似三角形的判定．若两三角形有两个角对应相等，则两三角形相似；若两三角形的两组边对应成比例，且夹角相等则两三角形相似．