Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．

（1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=2，DE=1，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

连接OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠A+∠DBO=90°，

∵CD切⊙O于D，

∴∠CDO=90°，

∴∠BDC+∠ODB=90°，

∵OD=OB，

∴∠DBO=∠ODB，

∴∠BDC=∠A

（2）解：∵CE⊥AE，

∴∠E=∠ADB=90°，

∴DB∥EC，

∴∠DCE=∠BDC，

∵∠BDC=∠A，

∴∠A=∠DCE，

∵∠E=∠E，

∴△AEC∽△CED，

∴ = ，

∴ = ，

∴AE=4，

∴AD=AE﹣DE=4﹣1=3

【解析】（1）出现切线时，常用的辅助线为连接切点和圆心，构造直角，利用余角的性质可证出;（2）利用直径的性质和平行的性质，可证出△AEC∽△CED，对应边成比例求出AE，减去DE，求出AD.
【考点精析】关于本题考查的圆周角定理和切线的性质定理，需要了解顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能得出正确答案．