Question

在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．设∠BAC=α，∠DCE=β．

（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是

 

；证明你的结论；
（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是

 

，请说明理由；
（3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图（3）中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）如图1，根据等式的性质就可以得出∠CAE=∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，由三角形的内角和定理就可以得出结论；
（2）如图2，根据等式的性质就可以得出∠CAE=∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出结论；
（3）根据条件画出图形（3），根据等式的性质就可以得出∠CAE=∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，由外角与内角的关系就可以得出结论．

解答：解：（1）α+β=180°．
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
∴∠CAE=∠BAD．
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠BCE=180°，
即α+β=180°．                 
（2）α=β；                                               
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD=∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，即α=β．                                    
（3）α=β．
理由：如图3，∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，
∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，
∴∠BAC=∠DCE，
即α=β．

点评：本题考查了三角形的内角和定理的运用，外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．