Question

（2013•乐清市模拟）如图，在△ABC中，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，且2∠A+∠B=90°，
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若OA=6，且OD=BD，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍得到∠COD=2∠A，由2∠A与∠B之和为90度，得到∠COD与∠B互余，在三角形COB中，得到∠OCB为直角，即可确定出BC为圆O的切线；
（2）连接CD，可证明直角三角形ACD中∠A=30°，利用锐角三角函数即可求出AC的长．

解答：（1）证明：连接OC，
∵

CD

=

CD

，
∴∠COD=2∠A，
∵2∠A+∠B=90°，
∴∠COD+∠B=90°，
在△OCB中，∠OCB=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接CD，
∵∠COB=2∠A，2∠A+∠B=90°，
∴∠B+∠COA=90°，
∵CD=

1

2

BO，
∵OD=BD，
∴CD=

1

2

AD，
∴∠A=30°
∴cos30°=

AC

AD

，
∵AD=2AB=12，
∴AC=6

3

．

点评：此题考查了切线的判定，特殊角的锐角三角函数以及圆周角定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．