Question

12．已知抛物线y=ax²+bx-8（a≠0）的对称轴是x=1，
（1）求证：2a+b=0；
（2）若关于x的方程ax²+bx-8=0，有一个根为4，求方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称轴方程进行证明；
（2）根据抛物线与x轴的交点问题可判断抛物线y=ax²+bx-8（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（4，0），然后利用抛物线的对称性可得到抛物线y=ax²+bx-8（a≠0）与x轴的另一个交点坐标为（-2，0），从而得到方程ax²+bx-8=0另一个根．

解答 （1）证明：∵抛物线的对称轴是x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a+b=0；
（2）解：∵关于x的方程ax²+bx-8=0有一个根为4，
∴抛物线y=ax²+bx-8（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∵抛物线的对称轴是x=1，
∴抛物线y=ax²+bx-8（a≠0）与x轴的另一个交点坐标为（-2，0），
∴关于x的方程ax²+bx-8=0，有一个根为-2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程；通过二次函数的交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．