Question

15．如图，在矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2$\sqrt{3}$）、D（0，3$\sqrt{3}$），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上的动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是（6，2$\sqrt{3}$）；
②∠CAO=30度；
③当点Q与点A重合时，点P的坐标为（3，3$\sqrt{3}$）（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）①∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2$\sqrt{3}$），
∴点B的坐标为：（6，2$\sqrt{3}$）；

②∵tan∠CAO=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAO=30°；

③如图1：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3$\sqrt{3}$），
∴PE=3$\sqrt{3}$，
∴AE=$\frac{PE}{tan60°}$=3，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴点P的坐标为（3，3$\sqrt{3}$）；

故答案为：①（6，2$\sqrt{3}$），②30，③（3，3$\sqrt{3}$）；


（2）情况①：如图2，MN=AN=3，
则∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°，
∵∠PQO=60°，
即∠MQO=60°，
∴点N与Q重合，
∴点P与D重合，
∴此时m=0，

情况②，如图3，AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴；
MJ=MQ•sin60°=AQ•sin60°=（OA-IQ-OI）•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m）=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$AN=$\frac{3}{2}$，
可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m）=$\frac{3}{2}$，
解得：m=3-$\sqrt{3}$，

情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，
如图4，过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，
∴MG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴QK=$\frac{PK}{tan60°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=3，GQ=$\frac{MG}{tan60°}$=$\frac{1}{2}$，
∴KG=3-0.5=2.5，AG=$\frac{1}{2}$AN=1.5，
∴OK=2，
∴m=2．

点评 此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．