Question

17．如图，二次函数y=mx²+（m²-m）x-2m+1的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1．
（1）求二次函数的表达式及A、B的坐标；
（2）若P（0，t）（t＜-1）是y轴上一点，Q（-5，0），将点Q绕着点P顺时针方向旋转90°得到点E．当点E恰好在该二次函数的图象上时，求t的值；
（3）在（2）的条件下，连接AD、AE．若M是该二次函数图象上一点，且∠DAE=∠MCB，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的顶点坐标的横坐标为1建立方程即可求出M，进而得出抛物线解析式，再令y=0解一元二次方程即可得出点A，B的坐标；
（2）先构造出全等三角形△EPH≌△PQO，进而得出EH=OP=-t，HP=OQ=5，即可得出点E的坐标，代入抛物线解析式中即可求出t；
（3）分两种情况讨论计算，①点M在x轴上方时，构造相似三角形△MCN∽△DAF得出比例式建立方程即可求出点M的坐标，
②点M在x轴下方时，同①的方法即可得出点M的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点坐标的横坐标为1，
∴$-\frac{{{m^2}-m}}{2m}=1$，
解得，m₁=-1，m₂=0（舍去）
∴二次函数的表达式为y=-x²+2x+3，
当y=0时，-x²+2x+3=0，
解得，x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），

（2）如图1，过点E作EH⊥y轴于点H，
∵∠PQO+∠OPQ=90°，∠OPQ+∠HPE=90°，
∴∠HPE=∠PQO，
由旋转知，PQ=PE，
在△EPH和△PQO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PHE=∠QOP=90°}\\{∠HPE=∠PQO}\\{PQ=PE}\end{array}\right.$，
∴△EPH≌△PQO，
∴EH=OP=-t，HP=OQ=5
∴E（-t，5+t）
当点E恰好在该二次函数的图象上时，有5+t=-t²-2t+3
解得t₁=-2，t₂=-1（由于t＜-1所以舍去），

（3）设点M（a，-a²+2a+3）
①若点M在x轴上方，
如图2，过点M作MN⊥y轴于点N，
过点D作DF⊥x轴于点F．
∵∠EAB=∠OCB=45°，∠DAE=∠MCB
∴∠MCN=∠DAF
∴△MCN∽△DAF，
∴$\frac{MN}{DF}=\frac{NC}{FA}$，即$\frac{a}{4}=\frac{{{a^2}-2a}}{2}$
∴${a_1}=\frac{5}{2}$，a₂=0（舍去）
∴$M（\frac{5}{2}，\frac{7}{4}）$，
②若点M在x轴下方，
如图3，过点M作MN⊥y轴于点N，
过点D作DF⊥x轴于点F．
∵∠EAB=∠OCB=45°，∠DAE=∠MCB
∴∠MCN=∠ADF
∴△MCN∽△ADF
∴$\frac{MN}{AF}=\frac{NC}{DF}$，即$\frac{a}{2}=\frac{{{a^2}-2a}}{4}$
∴a₁=4，a₂=0（舍去）
∴M（4，-5）
综上所述，$M（\frac{5}{2}，\frac{7}{4}）$或M（4，-5）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解（2）的关键是构造出△EPH≌△PQO，解（3）的关键是构造出△MCN∽△ADF，是一道中等难度的中考常考题．