Question

5．如图，DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，且EF=2DF，BF的延长线交AC于点H，CF的延长线交AB于点G，则S_{四边形AGFH}：S_△BFC=（　　）

• A． 1：10
• B． 1：5
• C． 3：10
• D． 2：5

Answer 1

分析 设DF=x，EF=2x，S_△GDF=S，则DE=3x，由三角形中位线性质得BC=2DE=6x，先证明△GDF∽△GBC，利用相似三角形的性质得S_△GBC=36S，则利用三角形面积公式得到S_△BGF=6S，S_△BFC=30S，接着利用$\frac{HF}{HB}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{2x}{6x}$=$\frac{HE}{HC}$=$\frac{1}{3}$得到$\frac{HF}{BF}$=$\frac{HE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，则S_△CFH=$\frac{1}{2}$S_△BCF=15S，所以S_△BCH=45S，然后利用同样方法计算出S_△BAH=$\frac{1}{3}$S_△BCH=15S，于是得到S_{四边形AGFH}=9S，然后计算S_{四边形AGFH}：S_△BFC的值．

解答 解：设DF=x，EF=2x，S_△GDF=S，
则DE=3x，
∵DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=6x，
∵DE∥BC，
∴△GDF∽△GBC，$\frac{GF}{GC}$=$\frac{DF}{BC}$=$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{{S}_{△GDF}}{{S}_{△GBC}}$=（$\frac{DF}{BC}$）²，即$\frac{s}{{S}_{GBC}}$=（$\frac{x}{6x}$）²=$\frac{1}{36}$，
∴S_△GBC=36S，
∵$\frac{{S}_{△BGC}}{{S}_{△GBC}}$=$\frac{GF}{GC}$=$\frac{1}{6}$，
∴S_△BGF=6S，
∴S_△BFC=30S，
∵EF∥BC，
∴$\frac{HF}{HB}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{2x}{6x}$=$\frac{HE}{HC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{HF}{BF}$=$\frac{HE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△CFH=$\frac{1}{2}$S_△BCF=15S，
∴S_△BCH=45S，
而AE=CE，
∴AH：HC=1：3，
∴S_△BAH=$\frac{1}{3}$S_△BCH=15S，
∴S_{四边形AGFH}=S_△BAH-S_△BGF=15S-6S=9S，
∴S_{四边形AGFH}：S_△BFC=9S：30S=3：10．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在应用相似三角形的性质时，主要利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了三角形面积公式．