Question

【题目】（发现问题）爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，E为BC中点，求AE的取值范围．

（解决问题）

（1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作AB边上的中点F，连接EF，构造出△ABC的中位线EF，请你完成余下的求解过程．

（灵活运用）

（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝8，CD＝6，E、F分别为BC、AD中点，求EF的取值范围．

（3）变式：把图②中的A、D、C变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则EF的取值范围为 ．

（迁移拓展）

（4）如图④，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，E为BC边的中点，F是AC边上一点且EF正好平分△ABC的周长，则EF= ．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）1＜EF＜7；（3）；（4）EF＝．

【解析】

（1）依照题意作出图形，利用△AFE中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求解AE边的取值范围；

（2）连接BD，取BD 中点G，连接FG、EG，由E、F分别为BC、AD中点，可得FG＝AB，EG＝DC，同（1）△GEF中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求解EF边的取值范围；

（3）如图，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE，由三角形中位线定理可知，，在△DHE中有，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得；

（4）在线段CF上取一点M，使得FM=AF，连接BM，取BM的中点N，连接FN，EN，由EF平分三角形ABC周长，可得CM=AB=4，由三角形中位线定理，及∠A=60°，可知NF=NE=2，且∠FNE=120°，作NO⊥EF于O，解△ENF，可得FO=E0=，即可求得EF=．

（1）解：

∵E 为 BC 中点，F为 AB 中点，

∴EF＝AC，

∵AB＝8，AC＝6，

∴AF＝AB＝4，EF＝AC＝3，

在△AEF中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

∴4－3＜AE＜4＋3，

即，1＜AE＜7；

（2）解：连接BD，取BD 中点G，连接FG、EG，

∵E、F分别为BC、AD中点，

∴FG＝AB，EG＝DC，

∵AB＝8，CD＝6，

∴FG＝4，EG＝3，

在△GEF中，4－3＜EF＜4＋3，

即1＜EF＜7．

（3）如图，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE，

∵E、F分别为BC、AD中点，

∴，

∴在△DHE中，，

即EF的取值范围为，

故答案为：；

（4）在线段CF上取一点M，使得FM=AF，连接BM，取BM的中点N，连接FN，EN，

∴F为线段AM的中点，

∵E为BC中点，

∴FN∥AB，且，EN∥AC，且，BE=EC，

∵∠A＝60°，AB＝4，

∴FN=2，∠FNE=120°，

∵EF正好平分△ABC的周长，

∴，

∴，

∴CM=4，

∴NE=2，

∴△FNE为等腰三角形，且∠NFE=∠NEF=30°，

过点N作NO⊥EF于点O，

则FO=OE=，

∴，

故答案为：．