Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线与轴相交于点B，连结OA，抛物线从点O沿OA方向平移，与直线交于点P，顶点M到A点时停止移动．

（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点M的横坐标为,①用的代数式表示点P的坐标；②当为何值时，线段PB最短；
（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在异于M的点Q，使△PQA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设OA所在直线的函数解析式为，
∵A（2，4），∴2=4，∴=2，
∴OA所在直线的函数解析式为．                       
（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段OA上移动，
∴=2（0≤≤2）∴顶点M的坐标为（，）
∴抛物线函数解析式为
∴当=2时，=（0≤≤2）
∴点P的坐标是（2，）．                      
②∵PB=，
又∵0≤≤2，
∴当=1时，PB最短．                                  
（3）存在                                             
由（2）②知：此时抛物线的解析式为，M（1，2）；
∴ M到AP的距离是1，
∴ Q到AP的距离也是1，
∴ Q的横坐标是3
当时，=6
此时Q的坐标是（3，6） 

解析