Question

已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A，B两点．求证：直线O₁O₂垂直平分AB．

Answer 1

分析：如图，设AB和O₁O₂相交于点M，连接O₁A，O₂A，O₁B，O₂B，即可推出O₁A=O₁B，O₂B=O₂A，根据全等三角形的判定定理（SSS），推出△O₁AO₂≌△O₁BO₂，可得∠AO₁O₂=∠BO₁O₂，然后通过全等三角形的判定定理（SAS），推出△AO₁M≌BO₁M△，可得AM=BM，∠AMO₁=∠BMO₁，即直线O₁O₂垂直平分AB．

解答：解：设AB和O₁O₂相交于点M，连接O₁A，O₂A，O₁B，O₂B，
∵⊙O₁与⊙O₂相交于A，B两点，
∴O₁A=O₁B，O₂B=O₂A，
在△O₁AO₂和△O₁BO₂中，

O1O2=O1O2 AO1=BO1 AO2=BO2

，
∴△O₁AO₂≌△O₁BO₂（SSS），
∴∠AO₁O₂=∠BO₁O₂，
在△AO₁M和△BO₁M中，

AO1=BO1 ∠AO1M=∠BO1M MO1=MO1

，
∴△AO₁M≌△BO₁M（SAS），
∴AM=BM，∠AMO₁=∠BMO₁，
∴直线O₁O₂垂直平分AB．

点评：本题主要考查全等三角形的判定定理和性质，圆的半径的性质，关键在于正确的做出辅助线构建全等的三角形，熟练运用全等三角形的判定定理及性质，通过求证△O₁AO₂≌△O₁BO₂，推出△AO₁M≌△BO₁M，继而推出结论．