Question

在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是将x轴所在的直线绕着原点O顺时针旋转a度角后的图形，若它与反比例函数y=的图象分别交于第二，四象限的点B，D，已知A（-m，0），C（m，0）．
（1）直接判断并填写：不论x取何值，四边形ABCD的形状一定是______：
（2）①当点B为（k，3）时，四边形ABCD是矩形，试求k，a和m的值．
②观察猜想：对①中的m 值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？并求出B点坐标．
（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点B与点D关于点O成中心对称，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD的形状一定是平行四边形；

（2）①把点B（k，3）代入y=，解得：k=-，
过B作BE⊥x轴于E，则OE=，EB=3，
∵在Rt△BOE中，tanα===，
∴α=60°，
∴OB=2．
又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点B、D关于原点O成中心对称，
∴OB=OD=2．
∵四边形ABCD为矩形，且A（-m，0），C（m，0）
∴OA=OB=OC=OD=2
∴m=2；

②当m=2时，设B（x，）则x＜0，
∵OB=2，
∴x²+（）²=（2）²，
解得x=±3或±，
∵x＜0，
∴x=-或-3，
②能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个；，

（3）四边形ABCD不能是菱形．理由如下：
若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0），
所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上，
所以BD应在y轴上，
这与“点B、D分别在第二、四象限”矛盾，
所以四边形ABCD不可能为菱形．
分析：（1）由于反比例函数的图象是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则OB=OD，又OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得出四边形ABCD的形状；
（2）①把点B（k，3）代入y=，即可求出k的值；过B作BE⊥x轴于E，在Rt△BOE中，根据正切函数的定义求出tanα的值，得出α的度数；要求m的值，首先解Rt△BOE，得出OB的长度，然后根据进行的对角线相等得出OA=OB=OC=OD，从而求出m的值；
②当m=2时，设B（x，）则x＜0，由OB=2，得出x²+（）²=（2）²，解此方程，得x=±3或± 满足条件的x的值有两个，故能使四边形ABCD为矩形的点B共有两个；
（3）假设四边形ABCD为菱形，根据菱形的对角线垂直且互相平分，可知AC⊥BD，且AC与BD互相平分，又AC在x轴上，所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第二、四象限”矛盾，所以四边形ABCD不可能为菱形．
点评：本题主要考查了平行四边形的判定，矩形、菱形的性质，反比例函数的性质及三角函数的定义，关键是掌握反比例函数的图象是一个中心对称图形．