Question

如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD₁⊥l于点D₁，过点E作EE₁⊥l于点E₁．
（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E₁与E重合），试说明DD₁=AB；
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD₁、EE₁、AB之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质就可以得出△ADD₁≌△CAB及可以得出结论；
（2）作CM⊥l于点M，T通过证明△AD₁D≌△CMA，△CMB≌△BE₁E，就有DD₁=AM，EE₁=BM就可以得出结论．

解答：解：∵四边形ADFC和四边形BCGE是正方形，
∴AD=AC，∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠ABC=90°，∠D₁AD+∠BAC=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠D₁AD=∠BCA．
∵DD₁⊥l，
∴∠DD₁A=90°，
∴∠DD₁A=∠ABC．
在△ADD₁和△CAB中

∠DD1A=∠ABC ∠D1AD=∠BCA AD=CA

，
∴△ADD₁≌△CAB（AAS），
∴DD₁=AB；
（2）DD₁+EE₁=AB
作CM⊥l于点M，
∴∠CMA=∠CMB=90．
∴∠MAC+∠MCA=90°，∠MBC+∠MCB=90°．
∵四边形ADFC和四边形BCGE是正方形，
∴AD=AC，BC=BE，∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠D₁AD+∠MAC=90°，∠E₁BE+∠MBC=90°．
∴∠D₁AD=∠MCA，∠E₁BE=∠MCB．
∵DD₁⊥l，EE₁⊥l，
∴∠DD₁A=∠EE₁B=90°，
∴∠DD₁A=∠CMA，∠EE₁B=∠CMB．
在△AD₁D和△CMA中

∠DD1A=∠CMA ∠D1AD=∠MCA AD=CA

，
∴△AD₁D≌△CMA（AAS），
∴D1D=AM．
在△BE₁E和△CMB中

∠E1BE=∠MCB ∠EE1B=∠CMB BC=EB

，
∴△BE₁E≌△CMB（AAS），
∴E₁E=BM．
∵AB=AM+BM，
∴AB=DD₁+EE₁．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．