Question

如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离．
（2）求∠APB的度数．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理

专题：

分析：（1）由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△QAB，可得△PAC≌△P′AB，PA=QA，旋转角∠QAP=∠BAC=60°，所以△APQ为等边三角形，即可求得PQ；
（2）由△APQ为等边三角形，得∠APQ=60°，在△PQB中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠QPB=90°，可求∠APB的度数．

解答：解：（1）连接PQ，由题意可知BQ=PC=10，AQ=AP，
∠PAC=∠QAB，而∠PAC+∠BAP=60°，
所以∠PAQ=60度．故△APQ为等边三角形，
所以PQ=AP=AQ=4；

（2）因为PA=3，PB=4，PC=5，利用勾股定理的逆定理可知：
PQ²+BP²=BQ²，所以△BPQ为直角三角形，且∠BPQ=90°
可求∠APB=90°+60°=150°．

点评：本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．