Question

18．如图，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．如果MK²+CK²=AM²，则∠CDF的大小是15°（度）．

Answer 1

分析 先证明△CDA是等腰三角形，求出∠ACD=30°，；作点C关于FD的对称点G，连接GK，GM，GD．证明△ADM≌△GDM后，根据全等三角形的性质，GM=AM；根据勾股定理的逆定理求得∠GKM=90°，又∵点C关于FD的对称点G，∴∠CKG=90°，∠FKC=$\frac{1}{2}$∠CKG=45°，根据三角形的外角定理，就可以求得∠CDF=15°．

解答 解：在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴AD=BD=CD=$\frac{1}{2}$，∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°，
∴∠ACD=60°-30°=30°，
作点C关于FD的对称点G，
连接GK，GM，GD，
则CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，
∵D是AB的中点，∴AD=CD，
∴GD=AD．∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，
∠ADM+∠CDK=60°．
∴∠ADM=∠GDM，（3分）
∵DM=DM，
∴$\left\{\begin{array}{l}{AD=DG}\\{∠ADM=∠GDM}\\{DM=DM}\end{array}\right.$
∴△ADM≌△GDM，（SAS）
∴GM=AM．
∵MK²+CK²=AM²，
∴MK²+GK²=GM²，
∴∠GKM=90°，
又∵点C关于FD的对称点G，
∴∠CKG=90°，∠FKC=$\frac{1}{2}$∠CKG=45°，
∵∠A=∠ACD=30°，
∴∠FKC=∠CDF+∠ACD，
∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°，
故答案为：15°．

点评 本题综合考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、轴对称图形的性质、勾股定理，解决本题的关键是作出辅助线．