Question

随着句容近几年经济的快速发展，人民生活水平逐步提高，市场对鱼肉的需求量逐年增大．某农户计划投资养殖鱼和生猪，根据市场调查与预测，养殖生猪的利润y₁与投资量x成正比例关系，如图①所示；养殖鱼的利润y₂与投资量x成二次函数关系，如图②所示（利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润y₁与y₂关于投资量x的函数关系式；
（2）如果该农户准备以共计8万元资金投入养殖鱼和生猪，假设他将其中的t万元投入养殖鱼，剩下的资金全部投入养殖生猪，请你运用所学的知识帮助该农户得出他至少可以获得的利润是多少？该农户能否获得最大的利润？若能，请求出最大利润是多少？若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函数图象以及图象上点的坐标假设出函数解析式进而求出即可；
（2）利用（1）中所求解析式得出y=

1

2

t²+2（8-t）进而利用二次函数最值求出即可．

解答：解：（1）将（1，2）代入y₁=kx得：
k=2，故y₁=2x，
将（2，2）代入y₂=ax²，求得a=

1

2

，
∴y₂=

1

2

x²；

（2）设所获总利润为y万元，
则y=

1

2

t²+2（8-t）=

1

2

t²-2t+16（0≤t≤8）
∵

1

2

＞0  当t=-

-2

2× 1 2

=2时，y_最小值=14，
由0≤t≤8，根据增减性，当x=8时，y_最大值=32，
∴农场至少获得14万元，当将8万元全部用于养殖鱼时，最多获得32万元．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出y与t的函数关系式是解题关键．