Question

在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．

Answer 1

分析：连接PA，PB，PC，利用三角形面积等于所分割的三部分之和进行计算和证明．

解答：证明：如图，连接PA，PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则
S_△ABC=S_△PAB+S_△PCB+S_△PCA
=

1

2

cz +

1

2

ax+

1

2

by
所以ax+by+cz=2S_△ABC，
即ax+by+cz为常数．
说明若△ABC为等边三角形，则
x+y+z=

2S△ABC

a

=h
此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．

点评：考查了三角形面积公式的应用．关键在于把三角形分割为三部分，求出各部分面积之和．