(2011•常州)在平面直角坐标系XOY中,直线l1过点A(1,0)且与y轴平行,直线l2过点B(0,2)且与x轴平行,直线l1与直线l2相交于点P.点E为直线l2上一点,反比例函数(k>0)的图象过点E与直线l1相交于点F.
(1)若点E与点P重合,求k的值;
(2)连接OE、OF、EF.若k>2,且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍,求E点的坐标;
(3)是否存在点E及y轴上的点M,使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等?若存在,求E点坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)若点E与点D重合,则k=1×2=2;
(2)当k>2时,如图1,点E、F分别在P点的右侧和上方,过E作x轴的垂线EC,垂足为C,过F作y轴的垂线FD,垂足为D,EC和FD相交于点G,则四边形OCGD为矩形,
∵PF⊥PE,
∴S△FPE=PE•PF=
(
﹣1)(k﹣2)=
k2﹣k+1,
∴四边形PFGE是矩形,
∴S△PFE=S△GEF,
∴S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGD﹣S△OCE=•k﹣(
k2﹣k+1)﹣k=
k2﹣1
∵S△OEF=2S△PEF,
∴k2﹣1=2(
k2﹣k+1),
解得k=6或k=2,
∵k=2时,E、F重合,
∴k=6,
∴E点坐标为:(3,2);
(3)存在点E及y轴上的点M,使得△MEF≌△PEF,
①当k<2时,如图2,只可能是△MEF≌△PEF,作FH⊥y轴于H,
∵△FHM∽△MBE,
∴=
,
∵FH=1,EM=PE=1﹣,FM=PF=2﹣k,
∴=
,BM=
,
在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,
∴(1﹣)2=(
)2+(
)2,
解得k=,此时E点坐标为(
,2),
②当k>2时,如图3,只可能是△MFE≌△PEF,作FQ⊥y轴于Q,△FQM∽△MBE得,=
,
∵FQ=1,EM=PF=k﹣2,FM=PE=﹣1,
∴=
,BM=2,
在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,
∴(k﹣2)2=()2+22,解得k=
或0,但k=0不符合题意,
∴k=.
此时E点坐标为(,2),
∴符合条件的E点坐标为(,2)(
,2).
解析
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科目:初中数学 来源:2011年江苏省常州市中考数学试卷 题型:解答题
(2011•常州)在平面直角坐标系XOY中,一次函数的图象是直线l1,l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点.直线l2过点C(a,0)且与直线l1垂直,其中a>0.点P、Q同时从A点出发,其中点P沿射线AB运动,速度为每秒4个单位;点Q沿射线AO运动,速度为每秒5个单位.
(1)写出A点的坐标和AB的长;
(2)当点P、Q运动了多少秒时,以点Q为圆心,PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切,求此时a的值.
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