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(1)如图1,在等边△ABC中,点M是边BC上的任意一点(不含端点B、C),联结AM,以AM为边作等边△AMN,联结CN.求证:∠ABC=∠ACN.

【类比探究】
(2)如图2,在等边△ABC中,点M是边BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.

【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是边BC上的任意一点(不含端点B、C),联结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.联结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
证明见解析.

试题分析:(1)先证△BAM≌△CAN,再由全等三角形性质得到结论;
(2)先证△BAM≌△CAN,再由全等三角形性质得到结论;
(3)先证△ABC∽△AMN,再证△BAM∽△CAN,由相似三角形性质得到结论。
试题解析:(1)∵△ABC、△AMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN;
(2)结论∠ABC=∠ACN仍成立.
理由如下:∵△ABC、△AMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,
∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN;
(3)∠ABC=∠ACN.
理由如下:
∵BA=BC,MA=MN,顶角∠ABC=∠AMN,
∴底角∠BAC=∠MAN,
∴△ABC∽△AMN,
 ,
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM∽△CAN,
∴∠ABC=∠ACN.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

四边形ABCD中,点E是AB的中点,F是AD边上的动点.连结DE、CF.
(1)若四边形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如图(1)所示.

①请直接写出AE的长度;
②当DE⊥CF时,试求出CF长度.
(2)如图(2),若四边形ABCD是平行四边形,DE与CF相交于点P.
探究:当∠B与∠PC满足什么关系时,成立?并证明你的结论.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AC⊥BC.

(1)求证:△ADC∽△BCA;
(2)若AB=9cm,AC=6cm,求梯形ABCD中位线的长度.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

把两个直角三角形如图(1)放置,使∠ACB与∠DCE重合,AB与DE相交于点O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=6cm,CE="5cm," CD=10cm.
(1)图1中线段AO的长=          cm;DO=         cm

图1
(2)如图2,把△DCE绕着点C逆时针旋转α度(0°<α<90°)得△D1CE1,D1C与AB相交于点F,若△BCE1恰好是以BC为底边的等腰三角形,求线段AF的长.
 
图2

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,等腰中,,D是BC上一点,且.

(1)求证:
(2)若,,求BC的长;
(3)若,求的值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,两点分别在的边上,不平行,当满足条件(写出一个即可)                    时,

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD边上的点,DE与CF交于点G.(1)如图1,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF.则       (填“<”或“=”或“>”);
(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形,试探究:
当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得=成立?并证明你的结论;
(3)如图3,若BA="BC=" 3,DA="DC=" 4,∠BAD= 90°,DE⊥CF.则的值为        

图1                     图2                     图3

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,在△中,∠°,,在斜边上取一点,使,过,则_______.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如果=,那么的值是(   )
A.B.C.D.

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