分析 由于D为AB的中点,P′为动点,则当DP⊥A′C′时,DP′最短,而在△ABC绕点B逆时针旋转(0°<a≤360°)的过程中,当DP′在直线AB上时,DP′最短,然后根据旋转的性质得到∠C′=∠C=45°,BC′=BC=14,再利用含45度的直角三角形三边的关系得到BP′=7$\sqrt{2}$,而BD=5,所以DP′=BP1-BD=7$\sqrt{2}$-5,当D、B、P′在一条直线上,且P′在点C′处时,DP′最长,此时BP′=14,BD=5,则BP′=14+5=19,从而求得x的取值范围是7$\sqrt{2}$-5≤x≤19.
解答 解:过A点作AE⊥BC于E,
∵AB=10,AC=8$\sqrt{2}$,∠ACB=45°,
∴AE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=8,
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=6,
∴BC=14,
∵D为AB的中点,P′为动点,
∴当DP′⊥A′C′时,DP′最短,
∵在△ABC绕点B逆时针旋转a角(0°<a≤360°)的过程中,当DP′在直线AB上,且P′点为A′C′与AB垂直时的垂足时,DP′最短,如图1,
∵△ABC绕点B逆时针旋转a角(0°<a≤360°)得到△A′BC′,
∴∠C′=∠C=45°,BC′=BC=14,
∴BP′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC′=7$\sqrt{2}$,
∵AB=10,D为AB的中点,
∴BD=5,
∴P′D=BP′-BD=7$\sqrt{2}$-5.
∵在△ABC绕点B逆时针旋转a角(0°<a≤360°)的过程中,当D、B、P′在一条直线上,且P′在点C′处时,DP′最长,如图2,
∵BC′=BC=14,
∴BP′=14,
∵BD=5,
∴BP′=14+5=19,
∴7$\sqrt{2}$-5≤x≤19.
故答案为7$\sqrt{2}$-5≤x≤19.
点评 本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1的平方根是±1 | B. | -1的立方根是-1 | ||
C. | $\sqrt{2}$是2的算术平方根 | D. | 3是$\sqrt{(-3)^{2}}$的平方根 |
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