Question

4．AB是四边形ACBE的对角线，AB=AC，过点C作CD∥AE交BE于D．若AE=DE，∠ACD=45°，BD=1，CD=5，则AE=$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形，先根据角平分线性质得：AG=AF，证明△AGB≌△AFC，得等腰直角△AFC和△ABG，设DG=t，根据BG=AG=5-t=1+t，列方程解出t=2，由勾股定理求出AD的长，再由同角的三角函数列比例式：$\frac{AH}{AE}=\frac{DG}{AD}$，得出结论．

解答 解：连接AD，过A分别作DC、BE的垂线，垂足分别为F、G，过E作EH⊥AD于H，
∵AE=DE，
∴∠ADE=∠DAE，
∵CD∥AE，
∴∠CDA=∠DAE，
∴∠ADE=∠CDA，
∵AG⊥BE，AF⊥CD，
∴AG=AF，
∵∠AGD=∠AFD=90°，AD=AD，
∴△AGD≌△AFD，
∴DG=FD，
∵∠AGB=∠AFC=90°，AB=AC，
∴△AGB≌△AFC，
∴∠ABG=∠ACD=45°，
∴∠FAC=45°，
∴∠FAC=∠ACF，
∴AF=CF，
∵DC=DF+CF=DF+AF=DG+AG=5，
设DG=t，则AG=5-t，AG=BG=5-t，
∵BG=BD+DG=1+t，
5-t=1+t，
t=2，
∴DG=2，AG=3，
∴AD=$\sqrt{D{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
在△ADE中，AE=DE，EH⊥AD，
∴AH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
在Rt△AEH中，cos∠DAE=$\frac{AH}{AE}$，
在Rt△ADG中，cos∠ADE=$\frac{DG}{AD}$，
∴$\frac{AH}{AE}=\frac{DG}{AD}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{AE}=\frac{2}{\sqrt{13}}$，
AE=$\frac{13}{4}$．

点评 本题是三角形的综合题，题中条件较多，难度较大，主要考查了三角形全等、等腰直角三角形性质和判定，与勾股定理和三角函数相结合，设未知数，找等量关系式或比例式列方程求解．