Question

3．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，E是边AD上一点，BE⊥AC交AC于点F，BE、CD的延长线交于点G，且∠ABE=∠CAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如果AE=EG，求证：AC²=BC•BG．

Answer 1

分析 （1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以只要证明∠BAD=90°，即可得到四边形ABCD是矩形；
（2）连接AG，由平行四边形的性质和矩形的性质以及结合已知条件可证明△BCG∽△ABC，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明AC²=BC•BG．

解答 解：
（1）证明：
∵BE⊥AC，
∴∠AFB=90°．
∴∠ABE+∠BAF=90°．
∵∠ABE=∠CAD．
∴∠CAD+∠BAF=90°．
即∠BAD=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；

（2）连接AG．
∵AE=EG，
∴∠EAG=∠EGA．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴∠ABG=∠BGC．
∴∠CAD=∠BGC．
∴∠AGC=∠GAC．
∴CA=CG．
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB．
∴∠ACB=∠BGC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCG=90°．
∴∠BCG=∠ABC，
∴△BCG∽△ABC．
∴$\frac{AC}{BG}=\frac{BC}{CG}$．
∴AC²=BC•BG．

点评 本题考查了平行四边形的性质、矩形的判断和性质、等腰三角形的判断和性质以及相似三角形的判断和性质，题目的综合性较强，难度中等，熟记相似三角形的各种判断方法是解题的关键．