Question

9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+2与x轴y轴分别交于点A，B与反比例函数y=$\frac{4}{x}$在第一象限交于点C．
（1）写出点A，B，C的坐标．
（2）过x轴上的点D（3，0）作平行于y轴的直线l分别与直线AB和反比例函数y=$\frac{4}{x}$交于点P，Q求△APQ的面积．

Answer 1

分析 （1）分别将x=0、y=0代入y=2x+2中求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点B、A的坐标，再联立两函数解析式成方程组，解之取其正值即可得出点C的坐标；
（2）将x=3分别代入一次函数和反比例函数解析式中求出y值，由此即可得出点P、Q的坐标，进而即可得出PQ的长度，由点A、D的坐标即可得出线段AD的长度，再利用三角形的面积公式即可求出△APQ的面积．

解答 解：（1）当y=2x+2=0时，x=-1，
∴点A的坐标为（-1，0）；
当x=0时，y=2x+2=2，
∴点B的坐标为（0，2）；
联立两函数解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标为（1，4）．

（2）当x=3时，y=2x+2=8，
∴点P的坐标为（3，8）；
当x=3时，y=$\frac{4}{x}$=$\frac{4}{3}$，
∴点Q的坐标为（3，$\frac{4}{3}$）．
∴PQ=8-$\frac{4}{3}$=$\frac{20}{3}$，AD=3-（-1）=4，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$PQ•AD=$\frac{1}{2}$×$\frac{20}{3}$×4=$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点C的坐标；（2）将x=3代入一次（反比例）函数解析式中找出点P（Q）的坐标．