Question

13．如图，⊙O的直径AB为4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）AC=2，BD=2$\sqrt{2}$；
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用圆周角定理结合角平分线的性质以及等腰直角三角形得出AC，BD的长；
（2）直接过点B作BE⊥DC于点E，再利用锐角三角函数关系得出答案．

解答 解：（1）连接AD，
∵点C在⊙O上，⊙O的直径为AB，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{DB}$，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2；2$\sqrt{2}$；

（2）过点B作BE⊥DC于点E，
∵∠ACB=90°，DC平分∠ACB，
∴∠BCE=45°，
∴EC=BE，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
∴∠CDB=60°，
∴BE=BD•sin60°=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{6}$，DE=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
∴DC=EC+DE=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

点评 此题主要考查了圆周角定理以及锐角三角函数关系等知识，正确作出辅助线是解题关键．