Question

根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论．
（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°

①作图：
②猜想：
③验证：
（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°．

①作图：
②猜想：
③验证：

Answer 1

【答案】分析：（1）①痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）两类方法均可，
②利用各角之间的关系得出∠A+∠B=90°；
③可根据△ABC中，∠A=24°，∠B=66°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．
（2）①痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可．
②利用各角之间的关系得出∠B=3∠A；
③利用特殊角∠A=24°，∠B=72°，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．
解答：解：（1）①作图：痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）两类方法均可，
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求（2分）
②猜想：∠A+∠B=90°，（4分）
③验证：如在△ABC中，∠A=24°，∠B=66°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．（5分）


（2）答：①作图：痕迹能体现作线段AB的垂直平分线，或作∠ABD=∠A．
在边AC上找出所需要的点D，则直线BD即为所求（6分）
②猜想：∠B=3∠A（8分）
③验证：如在△ABC中，∠A=24°，∠B=72°，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．（9分）．

点评：此题主要考查了垂直平分线的作法以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理的应用，根据垂直平分线的性质作出图形是解决问题的关键．