Question

如图（1）所示，一张平行四边形纸片ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿对角线BD把这张纸片剪成△AB₁D₁和△CB₂D₂两个三角形（如图（2）所示），将△AB₁D₁沿直线AB₁方向移动（点B₂始终在AB₁上，AB₁与CD₂始终保持平行），当点A与B₂重合时停止平移，在平移过程中，AD₁与B₂D₂交于点E，B₂C与B₁D₁交于点F。

（1）当△AB₁D₁平移到图（3）的位置时，试判断四边形B₂FD₁E是什么四边形？并证明你的结论；
（2）设平移距离B₂B₁为x，四边形B₂FD₁E的面积为y，求y与x的函数关系式；并求出四边形B₂FD₁E的面积的最大值；
（3）连结B₁C（请在图（3）中画出）。当平移距离B₂B₁的值是多少时，△B₁B₂F与△B₁CF相似？

Answer 1

解：（1）四边形B₂FD₁E是矩形。
因为△AB₁D₁平移到图（3）的，所以四边形B₂FD₁E是一个平行四边形，又因为在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，BD=8，则有∠ADB是直角。所以四边形B₂FD₁E是矩形。
（2）因为三角形B₁B₂F与三角形AB₁D₁相似，则有B₂F==0.6x，B₁F==0.8x，
所以=B₂F×D₁F=0.6x×（8-0.8x）=4.8x-0.48x²，即y=4.8x-0.48x²=12-0.48（x-5）²，
当x=5时，y=12是最大的值。
（3）要使△B₁B₂F与△B₁CF相似，则有即，解之得：x=3.6。