Question

【题目】如图，A（0，2），B（6，2），C（0，c）（c＞0），以A为圆心AB长为半径的交y轴正半轴于点D，与BC有交点时，交点为E，P为上一点．

（1）若c＝6+2，

①BC＝　 　，的长为　 　；

②当CP＝6时，判断CP与⊙A的位置关系，井加以证明；

（2）若c＝10，求点P与BC距离的最大值；

（3）分别直接写出当c＝1，c＝6，c＝9，c＝11时，点P与BC的最大距离（结果无需化简）

Answer 1

【答案】（1）①12，π；②详见解析；（2）①；②（3）答案见详解

【解析】

（1）①先求出AB，AC，进而求出BC和∠ABC，最后用弧长公式即可得出结论；②判断出△APC是直角三角形，即可得出结论；

（2）分两种情况，利用三角形的面积或锐角三角函数即可得出结论；

（3）画图图形，同（2）的方法即可得出结论．

（1）①如图1，

∵c＝6+2，

∴OC＝6+2，

∴AC＝6+2﹣2＝6，

∵AB＝6，

在Rt△BAC中，根据勾股定理得，BC＝12，tan∠ABC＝＝，

∴∠ABC＝60°，

∵AE＝AB，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠BAE＝60°，

∴∠DAE＝30°，

∴的长为＝π，

故答案为：12，π；

②CP与⊙A相切．

证明：∵AP＝AB＝6，AC＝OC﹣OA＝6，

∴AP2+CP2＝108，

又AC2＝（6）2＝108，

∴AP2+PC2＝AC2．

∴∠APC＝90°，即：CP⊥AP．

而AP是半径，

∴CP与⊙A相切．

（2）若c＝10，即AC＝10﹣2＝8，则BC＝10．

①若点P在上，AP⊥BE时，点P与BC的距离最大，设垂足为F，

则PF的长就是最大距离，如图2，

S△ABC＝AB×AC＝BC×AF，

∴AF＝＝，

∴PF＝AP﹣AF＝；

②如图3，若点P在上，作PG⊥BC于点G，

当点P与点D重合时，PG最大．

此时，sin∠ACB＝，

即PG＝＝

∴若c＝10，点P与BC距离的最大值是；

（3）当c＝1时，如图4，

过点P作PM⊥BC，sin∠BCP＝

∴PM＝=；

当c＝6时，如图5，同c＝10的①情况，PF＝6﹣=，

当c＝9时，如图6，同c＝10的①情况，PF＝ ，

当c＝11时，如图7，

点P和点D重合时，点P到BC的距离最大，同c＝10时②情况，DG＝ ．