【题目】在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°.
(1)求证:△AOB是等边三角形;
(2)求∠BOE的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)∠BOE=75°.
【解析】
(1)由矩形ABCD,得到OA=OB,根据AE平分∠BAD,∠CAE=15°,即可证明△AOB是等边三角形;
(2)由等边三角形的性质,推出AB=OB,求出∠OBC的度数,根据等边三角形和等腰直角三角形的性质得到OB=BE,然后可求出∠BOE.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE=45°,
∵∠CAE=15°,
∴∠BAC=60°,
∴△AOB是等边三角形.
(2)∵△AOB是等边三角形,
∴AB=OB,∠ABO=60°,
∴∠OBC=90°﹣60°=30°,
∵∠BAE=∠BEA=45°
∵AB=OB=BE,
∴∠BOE=∠BEO=(180°﹣30°)=75°.
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【题目】正方形网格中(网格中的每个小正方形边长是1),△ABC的顶点均在格点上,请在所给的直角坐标系中解答下列问题:
⑴ 作出△绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1,再作出△AB1C1关于原点O成中心对称的△A1B2C2.
(2)请直接写出以A1、B2、C2为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 .(写出一个即可)
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【题目】如图,一个动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动,即第一次从原点运动到(1,1),第二次从(1,1)运动到(2,0),第三次从(2,0)运动到(3,2),第四次从(3,2)运动到(4,0),第五次从(4,0)运动到(5,1),……,按这样的运动规律,经过第2013次运动后,动点P的坐标是______
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【题目】作出函数y=﹣x+3的图象,并利用图象回答问题:
(1)当y<0时,x的取值范围为_____;
(2)当﹣2<x<2时,y的取值范围为_____;
(3)图象与直线y=x﹣1的交点坐标为______;这两条直线与y轴围成的三角形面积为______.
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【题目】如图,直线y=x和直线y=﹣x+5相交于点M,直线PQ⊥x轴,分别交直线y=﹣x+5和直线y=x于点P、Q,点R是y轴上一点,若△PQR为等腰直角三角形.求点R的坐标.
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【题目】如图已知直线直线和直线交于点C和D,在C、D之间有一点P.
(1)图中∠PAC、∠APB、∠PBD之间有什么关系,并说明理由;
(2)如果P点在C、D之间运动时,∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系是否发生变化?
(3)若点P在直线上C、D两点的外侧运动时(点P与点C、D不重合),试探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系又是如何?分别画出图形并说明理由。
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【题目】数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证,根据图形可知他得出的这个推论指( )
A. S矩形ABMN=S矩形MNDCB. S矩形EBMF=S矩形AEFN
C. S矩形AEFN=S矩形MNDCD. S矩形EBMF=S矩形NFGD
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【题目】如图,在中, ,高、 相交于点, ,且 .
(1)求线段 的长;
(2)动点 从点 出发,沿线段 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 运动,动点 从 点 出发沿射线 以每秒 4 个单位长度的速度运动,两点同时出发,当点 到达 点时, 两点同时停止运动.设点 的运动时间为 秒,的面积为 ,请用含 的式子表示 ,并直接写出相应的 的取值范围;
(3)在(2)的条件下,点 是直线上的一点且 .是否存在 值,使以点 为顶 点的三角形与以点 为顶点的三角形全等?若存在,请直接写出符合条件的 值; 若不存在,请说明理由.
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