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如图,在平面直角坐标系中,⊙M分别交坐标轴于点A、B、C,圆的半径为数学公式,点M(1,-1).
(1)求点A、B、C的坐标.
(2)若抛物线y=x2+bx+c过点C和点D(2,-3),求抛物线的解析式,并验证A、B两点是否在此抛物线上;
(3)在(2)中抛物线上是否存在一点P,使得直线PO把△BOC的面积分成1:2两部分?若存在,求出直线PO的解析式;若不存在,请说明理由.

解:(1)过M作ME⊥AB于E,MF⊥OC于F,如右图;
在Rt△MBE中,MB=,ME=1,则 BE===2;
∴OB=OE+BE=1+2=3,即 B(3,0),同理可得 A(-1,0)、C(0,-3).

(2)依题意,有:

解得
故抛物线的解析式:y=x2-2x-3;
当x=-1时,y=1+2-3=0,所以点A在抛物线的图象上;
同理,可证得点B也在抛物线的图象上.

(3)由B(3,0)、C(0,-3)可求得,直线BC:y=x-3;
设直线OP与线段BC的交点为G,则G(x,x-3)(x>0);
S△OBC=×3×3=
∴S△OBG=S△OBC=或S△OBG=S△OBC=3;
①当S△OBG=×OB×|yG|=×3×(3-x)=时,x=2,则 G(2,-1);
直线OG:y=-x;
②当S△OBG=×OB×|yG|=×3×(3-x)=3时,x=1,则 G(1,-2);
直线OG:y=-2x;
综上,存在符合条件的直线OP,且解析式为:y=-x或y=-2x.
分析:(1)过点M作线段AB、OC的垂线,根据垂径定理和勾股定理来确定点A、B、C的坐标.
(2)已求得点C的坐标,利用待定系数法即可得到抛物线的解析式,然后将A、B点的坐标代入其中进行验证即可.
(3)设直线OP与线段BC的交点为G,首先求出△OBC的面积,根据题意可以发现,△OBG的面积应该是△OBC面积的,在得到△OBC的面积后进一步的求出点G的纵坐标,而直线OBC的解析式易求得,那么点G的坐标就能确定出来,再由待定系数法求出直线OG(即直线OP)的解析式.
点评:此题的难度适中,主要考查了:函数解析式的确定、垂径定理和勾股定理的综合应用以及三角形面积的求法等综合知识.(3)题中,△BOC的两部分并没有明确面积大的部分在上还是在下,因此要分类进行讨论,以免漏解.
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BD
AB
=
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,求这时点P的坐标.

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29
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k
x
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k
x
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(2)当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时,求直线CP的解析式;
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