解:(1)过M作ME⊥AB于E,MF⊥OC于F,如右图;
在Rt△MBE中,MB=
,ME=1,则 BE=
=
=2;
∴OB=OE+BE=1+2=3,即 B(3,0),同理可得 A(-1,0)、C(0,-3).
(2)依题意,有:
,
解得
故抛物线的解析式:y=x
2-2x-3;
当x=-1时,y=1+2-3=0,所以点A在抛物线的图象上;
同理,可证得点B也在抛物线的图象上.
(3)由B(3,0)、C(0,-3)可求得,直线BC:y=x-3;
设直线OP与线段BC的交点为G,则G(x,x-3)(x>0);
S
△OBC=
×3×3=
,
∴S
△OBG=
S
△OBC=
或S
△OBG=
S
△OBC=3;
①当S
△OBG=
×OB×|y
G|=
×3×(3-x)=
时,x=2,则 G(2,-1);
直线OG:y=-
x;
②当S
△OBG=
×OB×|y
G|=
×3×(3-x)=3时,x=1,则 G(1,-2);
直线OG:y=-2x;
综上,存在符合条件的直线OP,且解析式为:y=-
x或y=-2x.
分析:(1)过点M作线段AB、OC的垂线,根据垂径定理和勾股定理来确定点A、B、C的坐标.
(2)已求得点C的坐标,利用待定系数法即可得到抛物线的解析式,然后将A、B点的坐标代入其中进行验证即可.
(3)设直线OP与线段BC的交点为G,首先求出△OBC的面积,根据题意可以发现,△OBG的面积应该是△OBC面积的
或
,在得到△OBC的面积后进一步的求出点G的纵坐标,而直线OBC的解析式易求得,那么点G的坐标就能确定出来,再由待定系数法求出直线OG(即直线OP)的解析式.
点评:此题的难度适中,主要考查了:函数解析式的确定、垂径定理和勾股定理的综合应用以及三角形面积的求法等综合知识.(3)题中,△BOC的两部分并没有明确面积大的部分在上还是在下,因此要分类进行讨论,以免漏解.