Question

8．已知EF∥GH，直线KL与EF、GH分别交于点A、B．
（1）如图1，∠FAB与∠ABH的角平分线相交于点C，请直接写出∠ACB度数；
（2）如图2，∠FAB与∠ABH的三等分线分别相交于点M、N、P、Q．
①求∠AMB和∠ANB的度数；
②猜想∠APB与∠AQB的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质和角平分线的性质即可得到结论；
（2）①根据平行线的性质和角的三等分线的意义即可得到结论，
②根据平行线的性质和角的三等分线的意义以及三角形的内角和定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵EF∥GH，
∴∠FAB+∠HBA=180°，
∵AC平分∠FAB，BC平分∠HBA，
∴∠CAB+∠CBA=$\frac{1}{2}$（∠FAB+HBA）=90°，
∴∠ACB=90°；
（2）①∵AQ，BP三等分∠FAB，∠ABH，
∴∠MAB+∠ABM=$\frac{1}{3}$（∠FAB+∠ABH），∠NAB+∠ABN=$\frac{2}{3}$（∠FAB+∠ABH），
由（1）知∠FAB+∠ABH=180°，
∴∠MAB+∠ABM=$\frac{1}{3}$（∠FAB+∠ABH）=60°，∠NAB+∠ABN=$\frac{2}{3}$（∠FAB+∠ABH）=120°，
∴∠AMB=180°-60°=120°，∠ANB=180°-120°=60°，
②猜想：∠APB+∠AQB=180°，
∵∠PAB=$\frac{2}{3}$∠FAB，∠ABP=$\frac{1}{3}$∠ABH，∠QAB=$\frac{1}{3}$∠FAB，∠ABQ=$\frac{2}{3}$∠ABH，
∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-$\frac{2}{3}$∠FAB-$\frac{1}{3}$∠ABH，
∠AQB=180°-∠QAB-∠ABQ=180°-$\frac{1}{3}$∠FAB-$\frac{2}{3}$∠ABH，
∴∠APB+∠AQB=（180°-$\frac{2}{3}$∠FAB-$\frac{1}{3}$∠ABH）+（180°-$\frac{1}{3}$∠FAB-$\frac{2}{3}$∠ABH）=360-（∠FAB+∠ABH）=180°．

点评 本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，角平分线的性质，正确的理解角平分线和三等分线的意义是解题的关键．