Question

若x₁，x₂是关于x的方程x²-（2k+1）x+k²+1=0的两个实数根，且x₁，x₂都大于1．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若

x1

x2

=

1

2

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据判别式的意义得到△=（2k+1）²-4（k²+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2k+1，x₁•x₂=k²+1，利用x₂=2x₁，则3x₁=2k+1，2x₁²=k²+1，所以2×（

2k+1

3

）²=k²+1，解此方程得到
k₁=1，k₂=7，然后根据x₁，x₂都大于1确定k的值．

解答：解：（1）根据题意得△=（2k+1）²-4（k²+1）≥0，
解得k≥

3

4

；
（2）根据题意得x₁+x₂=2k+1，x₁•x₂=k²+1，
∵

x1

x2

=

1

2

，
∴x₂=2x₁，
∴3x₁=2k+1，2x₁²=k²+1，
∴2×（

2k+1

3

）²=k²+1，
整理得k²-8k+7=0，解得k₁=1，k₂=7，
当k=1时，原方程为x²-3x+2=0，解得x₁=1，x₂=2（不符合条件舍去），
∴k的值为7．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．