Question

如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，作∠ACB的平分线交AB于D，若BC=4．
（1）求AD的长；
（2）求证：△CDB∽△ABC；
（3）求BD的长．

Answer 1

分析：（1）由等腰△ABC中，顶角∠A=36°，CD是∠ACB的平分线，即可求得∠B=∠BDC=72°，∠ACD=∠BCD=∠A=36°，可得AD=CD=BC=4；
（2）由∠BCD=∠A=36°，∠B是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△CDB∽△ABC；
（3）由相似三角形的对应边成比例，即可求得BD的长．

解答：解：（1）∵等腰△ABC中，顶角∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=

180°-∠A

2

=72°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD=

1

2

∠ACB=36°，
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠B=72°，
∴∠BDC=∠B，∠ACD=∠A，
∴CD=BC，CD=AD，
∴AD=BC=4；

（2）∵∠BCD=∠A=36°，∠B是公共角，
∴△CDB∽△ABC；

（3）∵△CDB∽△ABC，
∴BD：BC=BC：AC，
即BC²=BD•AC，
设BD=x，则AC=AB=AD+BD=x+4，
∴4²=x（x+4），
解得：x=±2

5

-2（负值舍去），
∴BD=2

5

-2．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．