Question

8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，△BCE的周长等于25cm．
（1）求BC的长；
（2）若∠A=36°，并且AB=AC．求证：BC=BE．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△BCE的周长=AC+BC，再求解即可；
（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠C=72°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，根据等边对等角可得∠ABE=∠A，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BEC=72°，从而得到∠BEC=∠C，然后根据等角对等边求解．

解答 （1）解：∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∵AC=15cm，
∴BC=25-15=10cm；

（2）证明：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-36°）=72°，
∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A，
由三角形的外角性质得，∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°，
∴∠BEC=∠C，
∴BC=BE．

点评 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，综合题难度不大，熟记各性质并准确识图是解题的关键．