Question

如图，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），以AB为直径⊙O，交y轴的负半轴于点C．若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A，C，B．已知点P是该抛物线上的动点，当∠APB是直角时，则满足要求的点P坐标为

 

．

Answer 1

考点：圆周角定理,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：首先连接O′C，由垂径定理可求得OC的长，即可求得点C的坐标，然后由∠APB是直角，可知点P位于⊙O′与二次函数y=ax²+bx+c的交点处，由对称性即可求得答案．

解答：解：如图，连接O′C，
∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），以AB为直径⊙O，交y轴的负半轴于点C，
∴AB=5，
∴O′A=2.5，OO′=1.5，
∴OC=

O′C2-OC′2

=2，
∴点C的坐标为：（0，-2），
∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A，C，B，
∴二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为：x=1.5，
∴点C的对称点为：（3，-2），
∵∠APB是直角，AB是直径，
∴点P位于⊙O′与二次函数y=ax²+bx+c的交点处，
即C（0，-2），（3，-2）．
故答案为：（0，-2），（3，-2）．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及二次函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．