Question

给出下列命题：
命题1：点（1，1）是直线y=x与双曲线y=

1

x

的一个交点；
命题2：点（2，4）是直线y=2x与双曲线y=

8

x

的一个交点；
命题3：点（3，9）是直线y=3x与双曲线y=

27

x

的一个交点；
（1）请观察上面命题，猜想出命题n（n是正整数）；
（2）证明你猜想的命题n是正确．

Answer 1

分析：（1）由已知的命题1，命题2，命题3要猜想出命题n，首先要发现它们的共同点或不变的内容：叙述的都是点（x，y）是直线y=kx与双曲线y=

m

x

的交点，然后要找到它们变化的内容及变化的规律：这个点的坐标在变，其中横坐标x=n，纵坐标y=n²；直线的解析式在变，其中k=n，双曲线的解析式也在变，其中m=n³．从而写出命题n；
（2）把x=n分别代入y=nx与y=

n3

x

，分别计算出对应的y值，然后与n²比较即可．

解答：解：（1）命题n：点（n，n²）是直线y=nx与双曲线y=

n3

x

的一个交点（n是正整数）；

（2）把

x=n y=n2

代入y=nx，左边=n²，右边=n•n=n²，
∵左边=右边，
∴点（n，n²）在直线上．（2分）
同理可证：点（n，n²）在双曲线上，
∴点（n，n²）是直线y=nx与双曲线y=

n3

x

的一个交点，命题正确．（1分）

点评：对于这类寻找规律的题目，首先要仔细研究已知条件，找到它们的共同点，发现它们变化的内容及变化的规律，才能由特殊推到一般，从而得到正确结论．注意总结出的一般规律应满足题目给出的特殊子，此法也常用来检验总结出的一般规律是否正确．本题考查了学生分析问题、解决问题的能力．