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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 为菱形,点 C 的坐标为(4,0),∠AOC = 60°,垂直于 x 轴的直线 l y 轴出发,沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动,设直线 l 菱形 OABC 的两边分别交与点 MN(点 M 在点 N 的上方).

1)求 AB 两点的坐标;

2)设 OMN 的面积为 S,直线 l 运动时间为 t 秒(0 ≤t ≤6 ),试求 S t 的函数表达 式;

3)在题(2)的条件下,t 为何值时,S 的面积最大?最大面积是多少.

【答案】(1)A(2,)B(6,);(2)当时,;当;当时,;(3秒时,

【解析】

1)根菱形性质得出OA=AB=BC=CO=4,过AADOCD,求出ADOD,即可得出答案;

2)依题意可分为三种情况:①当0≤t≤2时,直线lOAOC两边相交,②当2t≤4时,直线lABOC两边相交,③当4t≤6时,直线lABBC两边相交,画出图形求出即可;

3)根据(2)中各函数的性质和各自的自变量的取值范围可得出S的最大值及对应的t的值.

解:(1)∵四边形OABC为菱形,点C的坐标为(4,0)

过点AD.

,

A(2,)B(6,).

2)∵

直线ly轴出发,沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况:

①当时,直线l与直线OAOC两边相交,

②当时,直线lABOC两边相交,

③当时,直线lABBC两边相交,

设直线lx轴相交于H点,

综上所述:

3)由(2)知,当时,

时,

的对称轴为

∴函数,当时,S的增大而减小,

时,S取得最大值:

综上所述,当秒时,

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